enero-julio 2024
Vol. 19, No. 1, 46-57
https://doi.org/10.17163/alt.v19n1.2024.04
F
p-ISSN:1390-325X / e-ISSN:1390-8642
http://alteridad.ups.edu.ec
Pauta para reflexionar sobre la enseñanza
de las funciones y mejorar su docencia
Guideline to reflect on the education functions
and improve their teaching
Neus Inglada Rodríguez es profesora en la Universidad de Barcelona, España (ninglada@ub.edu)
(https://orcid.org/0000-0002-5741-7531)
Dra. Adriana Breda es profesora en la Universidad de Barcelona, España (adriana.breda@ub.edu)
(https://orcid.org/0000-0002-7764-0511)
Dra. Gemma Sala-Sebastià es profesora en la Universidad de Barcelona, España (gsala@ub.edu)
(https://orcid.org/0000-0001-9830-312X)
Recibido: 2023-09-29 / Revisado: 2023-12-09 / Aceptado: 2023-12-13 / Publicado: 2024-01-01
Resumen
El profesorado debe tener la competencia de reflexionar sobre
su propia práctica. El enfoque ontosemiótico ofrece como
herramienta para este propósito los “Criterios de Idoneidad
Didáctica”. Los objetivos de esta investigación son refinar los
indicadores de la Idoneidad Epistémica (IE) y profundizar en
la dimensión epistémica del conocimiento meta didáctico-ma-
temático de los profesores de matemáticas de secundaria en
formación inicial. Para ello se han examinado las investiga-
ciones sobre el objeto función en la educación secundaria.
De forma mixta, se ha analizado, en 119 “Trabajos Finales del
Máster (TFM) de Formación del Profesorado de Matemáticas de
Secundaria (Catalunya, España)” sobre funciones, la reflexión
que hacen los futuros profesores sobre su docencia, sobre la IE.
A partir de estos estudios se realiza el diseño de la adecuación
de la IE para analizar el objeto matemático función. Finalmente
se reanalizan los TFM con esta nueva pauta y se constata que
sus reflexiones presentan importantes carencias que podrían
influir en la calidad de sus procesos de instrucción. Se concluye
que, si se dotara al profesorado de una pauta especializada que
les facilite considerar todos los significados, representaciones y
procesos involucrados en la complejidad de las funciones, así
como las prácticas matemáticas en las que estos emergen, mejo-
raría la calidad del diseño, implementación y reflexión sobre sus
procesos de instrucción.
Palabras clave: educación matemática, formación de docentes
de secundaria, formación preparatoria de docentes, análisis fun-
cional, epistemología, Criterios de Idoneidad Didáctica.
Abstract
Teachers should have the competence to reflect on their own
practice. The Ontosemiotic Approach offers as a tool for this
purpose the “Didactic Suitability Criteria”. The objectives of the
research are to refine the indicators of epistemic suitability and
to deepen the epistemic dimension of the meta-didactic-mathe-
matical knowledge of secondary school mathematics teachers in
initial training. To this end, research on the object function in
secondary education has been examined. In a mixed way, we have
analysed, in 119 “Final Projects of the Master’s Degree (FPMD)
in Secondary Mathematics Teacher Training (Catalonia, Spain)”
on functions, the reflection that future teachers make on their
teaching, from the epistemic suitability. Based on these analyses,
the adequacy of the epistemic suitability for analysing the mathe-
matical object function is designed. Finally, the FPMDs are reana-
lysed with this new guideline and it is found that their reflections
present important weaknesses that could influence the quality of
their instructional processes. It is concluded that if mathematics
teachers were provided with a specialised guideline that makes
it easier for them to consider all the meanings, representations
and processes involved in the complexity of the functions, as well
as the mathematical practices in which these emerge, it would
improve the quality of the design, implementation, and reflection
on their instructional processes.
Keywords: mathematics education, secondary teacher education,
initial teacher training, functional analysis, epistemology, Didactic
Suitability Criteria.
Forma sugerida de citar (APA): Inglada Rodríguez, N., Breda, A., Sala-Sebastià, G. (2024). Pauta para reflexionar sobre la enseñanza
de las funciones y mejorar su docencia. Alteridad, 19(1), 46-57. https://doi.org/10.17163/alt.v19n1.2024.04
Neus Inglada Rodríguez, Dra. Adriana Breda y Dra. Gemma Sala-Sebastià
Alteridad, 2024, 19(1), 46-57 47
1. Introducción
En la literatura, varios autores explican, por
medio de diferentes modelos teóricos, qué conoci-
mientos debe poseer el profesorado para desempe-
ñar su profesión (Shulman,1987; Mishra y Koehler,
2006, entre otros). Amaya de Armas et al. (2016)
apuntan la importancia de identificar los conoci-
mientos que debe tener un profesor de matemá-
ticas. Para ello, existe el modelo Conocimientos y
Competencias Didáctico-Matemáticas del Profesor
de Matemáticas (CCDM) de Juan Godino et al.
(2017), lo cual es un refinamiento del modelo teó-
rico de Deborah Ball et al. (2008).
Centrándonos en la dimensión didáctica, el
profesorado de matemáticas ha de tener, entre otras,
la competencia de reflexionar sobre los procesos de
instrucción matemática llevados a cabo en la prác-
tica, entre otras razones, porque es una estrategia
fundamental para el crecimiento profesional y el
enriquecimiento de la docencia. Dentro de la agen-
da de investigación acerca de la importancia de la
reflexión del profesorado sobre su práctica docente,
se encuentran la investigación-acción de Elliot et
al. (1993), la práctica reflexiva de Schön (1983) y
el estudio de lecciones de Hart et al. (2011). Los
“Criterios de Idoneidad Didáctica” (CID) que ofrece
el marco Enfoque Ontosemiótico del Conocimiento
y la Instrucción Matemáticos (EOS) de Godino et
al. (2007), es un instrumento diseñado para ordenar
y estructurar la reflexión del profesorado articu-
lando diferentes criterios (epistémico, cognitivo,
interaccional, mediacional, afectivo, y ecológico)
configurándose como uno de los elementos del
Conocimiento Didáctico-Matemático (CDM) pro-
puesto por el EOS, denominado conocimiento meta
didáctico-matemático (Breda et al., 2017).
Es importante señalar que esta herramienta,
CID, ha sido aplicada en diferentes procesos de
formación de profesores en diversos países obte-
niendo resultados satisfactorios en lo referente al
desarrollo de la reflexión de los docentes para acre-
centar su calidad docente: Ecuador y España (Font
et al., 2023), Chile (Seckel y Font, 2020), Costa Rica
(Morales-López y Font, 2019), Panamá (Morales-
Maure, 2019), Perú (Garcés-Córdova y Font, 2022),
entre otros. El “Màster interuniversitari de Formació
del Professorat de Secundària de Matemàtiques de
Catalunya” atiende al criterio de que los futuros pro-
fesores deben realizar prácticas docentes en centros
educativos durante su formación inicial y a que, para
que perciban la gran complejidad de los procesos
de enseñanza y aprendizaje, es necesario reflexionar
sobre ellos, siendo la reflexión una herramienta para
mejorarlos.
Para conseguir este objetivo, los estudiantes
del Máster cursan una asignatura que se denomina
Trabajo Final de Máster (TFM) en la que analizan la
Unidad Didáctica (UD) elaborada e implementada
por ellos mismos en el periodo de prácticas prepro-
fesionales. Para realizar este análisis, los estudiantes
utilizan los CID que han estudiado en otra asignatu-
ra. Los futuros profesores, basándose en el análisis,
rediseñan su UD mejorándola.
Como afirma Font (2011), uno de los temas
más importantes en la educación matemática secun-
daria es el de las funciones. Son nucleares por estar
presentes en muchos procesos de modelización, así
como por su riqueza y complejidad epistémica.
En este trabajo analizamos, en los TFM sobre
funciones de la Educación Secundaria Obligatoria
(ESO), la reflexión que los profesores en formación
inicial hacen cuando analizan, epistémicamente, la
UD que han diseñado.
1.1 Modelo de conocimientos y
competencias didáctico-matemáticos
(CCDM)
Con la finalidad de mejorar la formación de
los docentes de matemáticas, Pino-Fan et al. (2015)
proponen un modelo del CDM que explica y deter-
mina los conocimientos de un profesor consideran-
do tres dimensiones: matemática, didáctica y meta
didáctico-matemática. En esta investigación nos
centraremos en la tercera de estas dimensiones.
Para desarrollar esta dimensión meta didácti-
co-matemática, en el EOS se han propuesto diferen-
tes constructos teóricos, en particular, para la evalua-
ción de procesos de instrucción de las matemáticas,
su herramienta esencial es la noción de Idoneidad
Didáctica. Se dice que un proceso de enseñanza y
aprendizaje tiene un determinado nivel de Idoneidad
Didáctica si posee ciertos elementos que posibilitan
valorarlo como idóneo, en el sentido de apropiado o
óptimo, para que los alumnos transformen los signi-
ficados institucionales pretendidos o implementados
por el docente (enseñanza) en significados perso-
Neus Inglada Rodríguez, Dra. Adriana Breda y Dra. Gemma Sala-Sebastià
© Universidad Politécnica Salesiana, Ecuador
48
nales (aprendizaje), considerando las circunstancias
y los medios utilizables (entorno) (Godino et al.,
2006a; Godino et al., 2006b). La Idoneidad Didáctica
se define a partir de las siguientes dimensiones o
CID: IE, evalúa la calidad de las matemáticas que
se enseñan; Idoneidad Cognitiva, evalúa, al inicio
de la instrucción, los conocimientos previos de los
alumnos, y al final, si los estudiantes han apren-
dido lo que se pretendía; Idoneidad Interaccional,
evalúa si las interacciones entre docente-discentes y
entre discentes contribuyen al aprendizaje de estos;
Idoneidad Mediacional, evalúa la gestión del tiempo
y la conveniencia de los materiales y otros recursos
empleados; Idoneidad Afectiva, evalúa el grado de
motivación e interés de los alumnos durante la ense-
ñanza y el aprendizaje; Idoneidad Ecológica, evalúa
la adaptación del proceso de enseñanza y aprendizaje
al currículo, al ideario del centro escolar, al contex-
to socioeconómico y al futuro laboral (Font et al.,
2010). El análisis que presentamos en este trabajo se
focaliza en la IE, por cuestiones de espacio, detalla-
remos únicamente esta idoneidad.
La IE estudia la representatividad de los dis-
tintos significados de los objetos matemáticos pre-
sentes en el proceso de instrucción. Por ejemplo, en
el caso de la enseñanza de las funciones de 4º de ESO,
reducir la enseñanza al aspecto operacional y a su
representación algebraica (baja idoneidad) o trabajar
diferentes significados de función, como corres-
pondencia, relación entre variables, relación entre
magnitudes, y sus distintas representaciones, verbal,
algebraica, tabular, gráfica e icónica (alta idoneidad).
Breda et al. (2017) establecen una estructu-
ra de componentes e indicadores que orientan y
organizan el análisis y la evaluación de la Idoneidad
Didáctica de los procesos de estudio de cualquier
etapa educativa. Es importante tener en cuenta que
los componentes y también los indicadores de los
CID se han configurado considerando los principios,
las tendencias y los resultados de las investigaciones
en Educación Matemática (Breda et al., 2018). La
tabla 1 presenta los componentes e indicadores de
la IE.
Tabla 1. Componentes e indicadores de la IE
Componentes Indicadores
Errores No se observan prácticas que se consideren incorrectas desde el punto de vista matemático.
Se observan prácticas correctas (sin errores) desde el punto de vista matemático.
Ambigüedades
Se observan prácticas sin ambigüedades…
No se observan ambigüedades que puedan llevar a la confusión a los alumnos: definiciones y procedi-
mientos clara y correctamente enunciados, adaptados al nivel educativo al que se dirigen; adecuación
de las explicaciones, comprobaciones, demostraciones al nivel educativo a que se dirigen, uso contro-
lado de metáforas, etc.
Riqueza de procesos La secuencia de tareas contempla la realización de procesos relevantes en la actividad matemática
(modelización, argumentación, resolución de problemas, conexiones, etc.).
Representatividad
Los significados parciales definiciones, propiedades, procedimientos, etc.) son una muestra represen-
tativa de la complejidad de la noción matemática que se quiere enseñar contemplada en el currículo)
Los significados parciales (definiciones, propiedades, procedimientos, etc.) son una muestra represen-
tativa de la complejidad de la noción matemática que se quiere enseñar.
Para uno o varios significados parciales, muestra representativa de problemas. Para uno o varios sig-
nificados parciales, uso de diferentes modos de expresión (verbal, gráfico, simbólico…), tratamientos y
conversiones entre los mismos.
Nota. Breda et al. (2017, p.1093).
1.2 Investigaciones sobre la noción de
función en el marco del EOS
En el marco teórico del EOS se han desarro-
llado diversos estudios sobre el concepto de función
(Amaya de Armas et al., 2016; Flores y Font, 2017;
Parra-Urrea y Pino-Fan, 2017; Pino-Fan y Parra-
Urrea, 2021; Ramos y Font, 2008; Sánchez et al.,
2021). Nuestra investigación se apoya en los trabajos
anteriores para profundizar en la faceta epistémica
de la noción de función y de los procesos impli-
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cados en su enseñanza y aprendizaje. Recogemos
los listados propuestos en estas investigaciones, de
clasificaciones y caracterizaciones de los procesos
que están asociados a los componentes de la IE, con
la finalidad de completar la iniciativa de Pino-Fan
y Parra-Urrea (2021), diseñando, en este trabajo,
una herramienta que adecúe los CID para analizar,
evaluar y mejorar los procesos de instrucción de
funciones. Esta herramienta, además, posibilitará la
investigación del conocimiento meta didáctico-ma-
temático del profesorado.
2. Metodología
Esta investigación es de tipo mixto. Se integran
los métodos cuantitativo descriptivo y cualitativo. El
uso de las fortalezas de ambos enfoques aumenta la
calidad de las investigaciones (Leite et al., 2021). La
metodología cuantitativa se aplica a la selección y la
cuantificación de los TFM que han desarrollado su
UD alrededor funciones en la ESO. No obstante, el
enfoque cualitativo centrado en la reflexión de los
profesores en formación inicial es predominante en
este trabajo. De esta manera, a partir del análisis de
la reflexión que los futuros docentes han incluido en
sus TFM sobre la IE del diseño y de la implemen-
tación de la UD, emergen categorías inductivas de
tipos de errores, ambigüedades, riqueza de procesos
y representatividad de la complejidad del objeto fun-
ción trabajado en la ESO. El estudio, la comparación,
la generalización de estas nuevas categorías nos ha
permitido diseñar una herramienta específica para la
planificación, análisis y valoración de los procesos de
instrucción de las funciones en la ESO.
2.1 Contexto y participantes
Los datos se refieren a 119 TFM sobre funcio-
nes en la ESO de alumnos del “Màster interuniver-
sitari de Formació del Professorat de Secundària de
Matemàtiques de Catalunya” del curso 2011-2012 al
curso 2020-2021. Los alumnos del máster realizan
dos fases de prácticas en centros de secundaria. El
objetivo de la primera es que los profesores en for-
mación inicial se familiaricen con el centro educati-
vo, el alumnado y empiecen a trabajar con el mentor
del centro en la UD que deben diseñar. En la segunda
fase, los futuros profesores llevan a la práctica la
UD que han preparado. A continuación, en el TFM,
aplican los CID para analizar el grado de Idoneidad
Didáctica de su propia práctica docente y rediseñan
la UD para elevar el nivel de Idoneidad Didáctica.
En particular, al valorar la IE, reflexionan sobre los
errores, ambigüedades, riqueza de procesos y repre-
sentatividad de la complejidad de las funciones.
2.2 Diseño de la herramienta
Refinamiento de los Indicadores de la
IE para Funciones (RIEF)
Para llevar a cabo el diseño de la RIEF hemos
seguido una adaptación de los pasos del análi-
sis temático elaborado por Braun y Clarke (2006)
estructurado en seis fases. En el primer paso, se
hizo un estudio bibliográfico y se consideraron los
indicadores propuestos en Godino et al. (2006a),
Pino-Fan y Parra-Urrea (2021) y Sánchez et al.
(2021) para hacer un primer análisis de los TFM y, a
partir de una triangulación de expertos de la herra-
mienta CID, se elaboró un listado de indicadores
presentes en las reflexiones y propuestas de mejora
de los profesores en formación inicial. En el segundo
paso, a partir de los dos listados anteriores, hemos
confeccionado un único listado. En un tercer paso,
hemos clasificado los indicadores por componentes
del criterio de IE (errores, ambigüedades, riqueza
de procesos y representatividad de la complejidad
de los objetos matemáticos) y le hemos asignado un
código inicial según el componente al que pertenece
((Ei), (Ai), (Pi) y (ROMi)). En el cuarto paso, hemos
revisado los indicadores dentro de cada componente.
Algunos indicadores no se ajustaban al componente
asignado. Unos han sido eliminados y otros han
dado lugar a una nueva categoría (opción didáctica
adecuada (Oi), significados (Si), representaciones
y conversiones (RCi) y situaciones problema (Ti)).
Como se puede observar, la categoría correspondien-
te al criterio representatividad de la complejidad de
los objetos matemáticos ha sido sustituida por tres
nuevas categorías: significados, representaciones y
conversiones y situaciones problema. En el quinto
paso, hemos trabajado en la definición de cada uno
de los indicadores de manera que sea claro y operati-
vo. También hemos revisado la coherencia dentro de
cada categoría y globalmente de toda la herramienta.
Finalmente, en el sexto paso, hemos estructurado
las categorías de indicadores como una pauta espe-
Neus Inglada Rodríguez, Dra. Adriana Breda y Dra. Gemma Sala-Sebastià
© Universidad Politécnica Salesiana, Ecuador
50
cializada para reflexionar sobre la enseñanza de las
funciones en secundaria.
2.3 Análisis de los TFM utilizando la RIEF
En la primera fase se efectúa un análisis,
cuantitativo de estadística descriptiva. En concreto
se calcula la frecuencia absoluta y relativa de los
TFM en los que se han identificado cada uno de los
indicadores RIEF. Se distingue si está presente en el
análisis de la planificación e implementación de la
UD o en el rediseño. En la segunda fase, a partir de
una triangulación de expertos, se realiza un análisis
cualitativo, que, a partir de las evidencias presentes
en los TFM, nos permite caracterizar el conoci-
miento meta didáctico matemático de sus autores.
Estudiamos con qué grado de profundidad les ayu-
dan a reflexionar los indicadores del criterio de la
IE y cómo la pauta RIEF facilita la realización de un
análisis más guiado, y, por tanto, más profundo, que
contribuiría a explicitar mejor las debilidades y los
logros de los procesos de instrucción.
3 Resultados
En esta investigación se han realizado tres
niveles distintos de análisis. Así pues, los resulta-
dos obtenidos en cada uno de ellos son de distinta
tipología. Primero se ha elaborado la pauta RIEF,
después se analizan los TFM con la pauta de forma
cuantitativa y, finalmente, se analizan los TFM
cualitativamente.
3.1 Indicadores de la RIEF
Hemos obtenido la siguiente adecuación de
la IE con la finalidad de facilitar el análisis de los
procesos instrucción en la secundaria obligatoria
sobre funciones.
3.1.1 Errores
(E1) “Se evita el error de utilizar curvas con-
tinuas para funciones discretas” (Pino-Fan y Parra-
Urrea, 2021, p.50). (E2) Error de definición. (E3)
Error de representación. (E4) Error de resolución o
procedimiento. (E5) Error en la proposición de un
problema. (E6) Error de argumentación.
3.1.2 Ambigüedades
(A1) Se hace uso de metáforas de forma cons-
ciente. (A2) Uso de la notación para representar la
función y la imagen de un valor de la sin especificar
los dos significados. (A3) Lenguaje dinámico de fun-
ciones. (A4) Imprecisión en el lenguaje. (A5) Uso de
la notación para representar un punto y un intervalo
sin especificar los dos significados.
3.1.3 Opción didáctica adecuada
(O1) “El trabajo con funciones no se limita
al uso de representaciones algebraicas para evitar
que se perciban solo como fórmulas y regularida-
des” (Pino-Fan y Parra-Urrea, 2021, p. 50). (O2) Se
evita “la creencia de que un cambio en la variable
independiente implica necesariamente un cambio
en la variable dependiente” (Pino-Fan y Parra-Urrea,
2021, p. 50). (O3) “Se presentan relaciones funcio-
nales que no son graficables para evitar la creencia
de que toda función admite una representación
gráfica” (Pino-Fan y Parra-Urrea, 2021, p. 50). (O4)
“Se presentan relaciones funcionales que no tienen
asociada una expresión algebraica para evitar la
creencia de que toda función admite una represen-
tación algebraica” (Pino-Fan y Parra-Urrea, 2021, p.
50). (O5) “Las funciones se presentan con dominios
y codominios explícitos para evitar la creencia de
que toda función tiene un dominio y un codominio
natural o real” (Pino-Fan y Parra-Urrea, 2021, p. 50).
(O6) “Se presentan gráficas “irregulares” para evitar
la creencia de que toda función representada gráfi-
camente tiene “buen comportamiento” (Pino-Fan y
Parra-Urrea, 2021, p. 50). (O7) “Las definiciones y
los procedimientos consideran la arbitrariedad y la
univalencia como características clave de la noción
de función” (Pino-Fan y Parra-Urrea, 2021, p. 50).
(O8) “Se presentan las nociones de dominio y codo-
minio como elementos inherentes a la definición de
función” (Pino-Fan y Parra-Urrea, 2021, p.50). (O9)
“Se presentan enunciados y procedimientos funda-
mentales relativos a la noción de función adecuados
al nivel educativo” (Pino-Fan y Parra-Urrea, 2021,
p. 50). (O10) Al introducir el sistema de referencia
cartesiano se tienen en cuenta las confusiones que
pueden producirse (O11). Los alumnos carecen de
conocimientos previos que dificultan el aprendizaje.
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Alteridad, 2024, 19(1), 46-57 51
3.1.4. Riqueza de procesos
(P1) Se leen e interpretan correctamente los
enunciados de los problemas. (P2) Se enuncian
conjeturas y proposiciones. (P3) Argumentación: se
justifican conjeturas y procedimientos. (P4) Se ins-
titucionalizan las definiciones y los procedimientos.
(P5) Se identifican las variables y las magnitudes.
(P6) Se identifica si una relación es funcional y en
caso afirmativo de qué tipo es. (P7) Se aplican algo-
ritmos, rutinas o se realizan cálculos. (P8) Se realizan
procesos de generalización y abstracción.
3.1.5. Significados
(S1) “La función como correspondencia”
(Pino-Fan y Parra-Urrea, 2021, p. 47). (S2) La fun-
ción como relación entre variables. (S3) “La función
como relación entre magnitudes” (Pino-Fan y Parra-
Urrea, 2021, p. 47). (S4) “La función como corres-
pondencia arbitraria” (Pino-Fan y Parra-Urrea, 2021,
p. 47). (S5) “La función a partir de la teoría de con-
juntos” (Pino-Fan y Parra-Urrea, 2021, p. 47).
3.1.6. Representaciones y conversiones
Se moviliza la representación: (R1) verbal.
(R2) algebraica. (R3) tabular. (R4) gráfica. (R5) no se
especifica el tipo.
Se promueven conversiones entre la represen-
tación: (R6) verbal y la algebraica. (R7) verbal y la
tabular. (R8) verbal y la gráfica. (R9) algebraica y la
tabular. (R10) algebraica y la gráfica. (R11) tabular y
la gráfica. (R12) no se especifican los tipos.
3.1.7. Situaciones problema
Los problemas propuestos: (T1) activan las
distintas significaciones de función. (T2) movilizan
las distintas representaciones de función y sus con-
versiones. (T3) “en contextos puramente matemá-
ticos para reforzar el aprendizaje sobre funciones”
(Pino-Fan y Parra-Urrea, 2021, p. 50). (T4) donde
se trabajan conexiones intramatemáticas. (T5) “con-
textualizados provenientes de la vida cotidiana o de
otras ciencias” (Pino-Fan y Parra-Urrea, 2021, p. 50).
(T6) de modelización. (T7) que impliquen los distin-
tos tipos de funciones trabajadas.
Es relevante subrayar que la RIEF contiene la
categoría Opción didáctica adecuada cuyos indicado-
res no corresponden a la IE, sino a la cognitiva. Pero
son identificados como errores o como ambigüeda-
des, en el análisis de la IE de los TFM. Es necesario
tenerlos en cuenta para corregir esta tendencia. Como
ya se ha indicado, del componente representatividad
de la complejidad de los objetos matemáticos han
emergido tres categorías (significados, representacio-
nes y conversiones y situaciones) pero, en cambio, no
han emergido proposiciones, ni procedimientos, ni
argumentos, elementos que constituyen, junto con los
tres anteriores, las configuraciones epistémicas.
3.2 Resultados obtenidos del análisis
cuantitativo
Se han analizado las reflexiones sobre su pro-
pia práctica que realizan los autores de los TFM para
identificar en cuáles de los anteriores indicadores se
basan para proponer mejoras en sus UD.
La tabla 2 muestra los datos recogidos en el
análisis de los 119 TFM participantes en relación con
los componentes e indicadores RIEF identificados
en sus reflexiones. Hemos contabilizado el número
de TFM donde se reflexiona sobre cada uno de los
indicadores RIEF (I) y en qué aspectos de estos se
reflexiona (diseño e implementación (D) y/o pro-
puesta de mejora (M) de la UD). En relación con los
TFM analizados, X indica que no se ha encontrado
ninguna reflexión sobre el componente; F hace refe-
rencia a que el autor del TFM afirma que no detecta
errores o ambigüedades; V indica que se explicita
la voluntad de no cometer errores o introducir
ambigüedades o potenciar procesos. Los datos de la
columna F indican, para cada categoría de indicado-
res de la RIEF, el número de TFM que no recogen
ninguna reflexión sobre esa categoría. La columna
cuarta y siguientes recogen el número de TFM en los
que se ha identificado cada indicador de la RIEF (ver
detalle de los indicadores en sección 3.1).
Neus Inglada Rodríguez, Dra. Adriana Breda y Dra. Gemma Sala-Sebastià
© Universidad Politécnica Salesiana, Ecuador
52
Tabla 2. Número de TFM que reflexionan sobre cada indicador RIEF
Errores
I X F E1 E2 E3 E4 E5 E6 V
D 20 39 12 22 21 17 23 6 ---
M 99 --- 5 2 4 2 5 1 10
Ambigüedades
I X F A1 A2 A3 A4 A5 V
D 56 3 30 5 32 27 3 ---
M 88 --- 16 1 5 3 1 12
Opción didáctica
I X O1 O2 O3 O4 O5 O6 O7 O8 O9 O10 O11
D 71 1 0 0 0 5 3 2 5 24 6 3
M 110 0 0 0 0 1 0 0 2 2 3 2
Riqueza de procesos
I X P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 V
D 11 63 99 83 38 17 16 39 15 ---
M 57 14 51 26 6 4 5 3 4 1
Significados
I X S1 S2 S3 S4 S5
D 45 19 42 51 13 41
M 101 2 6 4 2 4
Representaciones
I X R1 R2 R3 R4 R5 R6 R7 R8 R9 R10 R11 R12
D 13 63 97 97 99 7 43 45 43 48 49 53 27
M 44 5 10 4 6 6 8 8 8 9 9 10 6
Situaciones problema
I X T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7
D 9 14 10 17 68 63 50 16
M 58 13 16 9 26 27 20 12
Nota. TFM (traducción de las autoras).
De la tabla 2 inferimos que en los análisis que
han realizado los futuros profesores sobre sus imple-
mentaciones, muchos de los indicadores de la RIEF
no son considerados. Esto se pone todavía más de
manifiesto en los rediseños que proponen.
3.3 Resultados obtenidos del análisis
cualitativo
En el análisis de la reflexión que efectúan los
alumnos del máster en los TFM sobre funciones de la
ESO se observa que los tipos de errores sobre los que
más reflexionan son los que se cometen en la propo-
sición de problemas (19 %), en definiciones (19 %) y
en representaciones (18 %).
Los tipos de ambigüedad sobre los que más se
reflexiona son el uso del lenguaje dinámico de fun-
ciones (27 %) y el uso de metáforas de forma cons-
ciente (25 %). Sin embargo, solo el 4 % de los futuros
profesores reflexiona sobre el uso de la notación para
representar la función y la imagen de un valor de sin
especificar los dos significados. En el TFM 41937 se
describe la siguiente ambigüedad detectada por el
autor en la implementación de su UD.
Una ambigüedad fue al explicar las funciones
discontinuas, las cuales, definimos como aquellas
funciones cuya gráfica no se puede dibujar sin
levantar el lápiz del papel. Esta definición les gene-
ró confusión cuando dibujamos una función dis-
continua en la que el punto de discontinuidad se
identificaba con un círculo […]. Algunos alumnos
expresaron que en ningún momento se levantaba
el lápiz para continuar dibujando toda la función,
ya que recorrían el círculo, y por tanto no era una
función discontinua.
Neus Inglada Rodríguez, Dra. Adriana Breda y Dra. Gemma Sala-Sebastià
Alteridad, 2024, 19(1), 46-57 53
Figura 1. ¿Función discontinua?
Nota. TFM 41937 (traducción de las autoras).
La opción didáctica adecuada más presente en
la reflexión de los TFM hace referencia a la adecua-
ción al nivel educativo (20 %). El proceso más tenido
en cuenta es enunciar conjeturas y proposiciones
(83 %). Le sigue la justificación de conjeturas y pro-
cedimientos (70 %). La mayor parte de los futuros
profesores reconoce una carencia de este tipo de
procesos en el diseño e implementación de sus UD y
el 52 % las introducen en sus propuestas de mejora.
El autor del TFM 21708 justifica la presencia de estos
procesos. Así evidencia la argumentación en su UD:
La actividad mostraba la gráfica de una función en
unos ejes de coordenadas. El objetivo era escoger
qué deportes (de un listado que yo les di) podrían
ser representados con aquella gráfica. Los y las
alumnas se vieron obligados a argumentar cuáles
sí y cuáles no y por qué. (TFM 21708, traducción
de las autoras)
Los significados que más aparecen en las
reflexiones de los TFM son la función como relación
entre magnitudes (43 %), relación entre variables
(35 %) y desde la teoría de conjuntos (35 %), aunque
solo un 24 % de los autores que reflexionan sobre los
significados cuando analizan su UD lo hacen en sus
propuestas de mejora. El 89 % de los TFM reflexio-
nan sobre el componente representaciones y conver-
siones. Es en este componente donde encontramos
evidencias de un análisis más detallado. Esta es la
reflexión del autor del TFM 11402:
Figura 2. Conversiones entre representaciones
A
De Tabla de valores De forma verbal Gráficamente Expresión simbólica
Tabla de valores NO SI NO
De forma verbal SI SI SI
Gráficamente SI NO NO
Expresión simbólica NO SI SI
Nota. TFM 11402 (traducción de las autoras).
a
X0
Neus Inglada Rodríguez, Dra. Adriana Breda y Dra. Gemma Sala-Sebastià
© Universidad Politécnica Salesiana, Ecuador
54
Como se puede observar en la figura 2, trabajamos
casi todas las maneras de representación y en todas
las direcciones. La manera que más trabajamos fue
pasar de la forma verbal a las otras tres maneras
de representación. Y la que menos utilizamos fue
la expresión simbólica y su conversión a las otras,
ya que los alumnos de 1º de ESO no habían estu-
diado las expresiones algebraicas. Podemos decir
que trabajamos en 6/11 de las direcciones posibles.
(TFM 11402, traducción de las autoras)
El componente situaciones problema es el que
está más presente. El 92 % de los trabajos contienen
reflexiones sobre alguno de sus indicadores. El más
estudiado es la presentación de problemas donde se
trabajan conexiones intramatemáticas (57 %) y le sigue
la presentación de problemas contextualizados (53 %).
Es muy habitual que el análisis de los pro-
cesos matemáticos trabajados se limite a indicar
cuáles de los descritos en la siguiente figura 3 han
estado presentes en el diseño e implementación de
la UD. Algunos autores justifican citando algunas
actividades como ejemplo, pero sin más concreción
ni profundización. La autora del TFM 21913 hace
un buen análisis a partir de la pauta contenida en la
figura 3, pero como esta pauta no tiene en cuenta los
objetos matemáticos con los que se está trabajando,
es generalista, poco refinada y no es suficiente para
que los docentes constaten con precisión qué tipo
de procesos están promoviendo y qué situaciones de
aprendizaje hacen emerger estos procesos.
Figura 3. Análisis referente a procesos matemáticos
Proceso i/o
competencia Descripción Presentación en la UD
Comunicación Ser capaces de expresar los conceptos
aprendidos, las ideas y los razonamientos.
Sí, a partir de la puesta en común de las actividades de descu-
brimiento y los debates/cuestiones que hacíamos al principio
de la clase para repasar conceptos. Hay que tomar más con-
ciencia de qué alumnos participan, y a quiénes les cuesta más.
Exploración Descubrir conceptos por ellos mismos, ex-
plorando las posibilidades de una resolución. Sí, en las actividades de autodescubrimiento.
Formalización Hacer uso del lenguaje formal de las
matemáticas.
No. Las definiciones eran creadas por los alumnos, y si bien
se corregían y debatían, no se hacía uso de lenguaje formal.
Argumentación Razonar y justificar las afirmaciones hechas. Sí era un punto clave en la mayor parte de las actividades.
Resolución de
problemas
Resolver un problema no inmediato que re-
quiere de un proceso complejo.
Sí, pero poco. La mayor parte de actividades eran pequeños
retos, pero sin llegar a ser problemas. Los problemas más
intensos fueron los de autoconocimiento.
Algoritmización Mecanización de un proceso. Sí. Se les pedía que escribiesen su propia teoría, lo cual in-
cluía los pasos a seguir.
Contextualización Buscar las matemáticas presentes en la
realidad.
Sí. Se hicieron muchas actividades en contextos cercanos,
como puede ser el instituto, los hobbies, etc. Todo y con eso,
no se dio suficiente importancia, y sería bueno fomentar más
la búsqueda de relaciones matemáticas en la realidad.
Representación Hacer uso de gráficas y símbolos para expre-
sar ideas matemáticas.
Sí. Sobre todo, al trabajar las coordenadas cartesianas y las
gráficas de funciones.
Trabajo
colaborativo
Dialogar con los compañeros y compartir
ideas para crear conocimiento.
Sí. La mayor parte de las actividades se hacían en grupo, y
se dio mucha importancia a la colaboración entre alumnos.
Modelización
Describir el entorno de manera matemática;
modelizar situaciones reales con las mate-
máticas aprendidas.
Hubo un solo ejercicio en el cual los alumnos hacían el pro-
ceso entero de modelización, en la mayoría recogían los da-
tos y los representaban, pero no llegaban a ningún modelo
que lo describiese.
Nota. TFM 21913 (traducción de las autoras).
Neus Inglada Rodríguez, Dra. Adriana Breda y Dra. Gemma Sala-Sebastià
Alteridad, 2024, 19(1), 46-57 55
Ha habido muchos procesos presentes en la UD,
motivo por el cual considero que es una UD rica
en procesos y adecuada al nivel de 2º de ESO.
(TFM 21913, traducción de las autoras)
También podemos observar que el porcentaje
de TFM que reflexionan sobre un indicador al valo-
rar la planificación y la implementación de la UD es
superior a aquellos que lo utilizan para justificar las
mejoras propuestas.
4. Discusión y conclusiones
En el estudio inicial de los TFM han emergido,
de la reflexión de los profesores en formación inicial,
los objetos primarios, significados, representaciones
y conversiones y situaciones, pero, en cambio, no
han emergido otros objetos primarios, como, por
ejemplo, las proposiciones, los procedimientos y los
argumentos, también presentes en el componente
Representatividad de la Complejidad. ¿Por qué no
emergen? Porque hay una falta de profundidad en
la reflexión de los futuros profesores en cuanto a
las proposiciones, argumentos y procedimientos. La
literatura científica contiene los siguientes elementos
que están relacionados con las proposiciones, pro-
cedimientos, argumentos de la noción de función:
a) “los procedimientos consideran la arbitrariedad
y la univalencia como características clave de la
noción de función” ; b) “se presentan enunciados y
procedimientos fundamentales relativos a la noción
de función adecuados a nivel educativo” y; c) “se pro-
mueven situaciones en que los estudiantes deben jus-
tificar sus conjeturas y procedimientos” (Pino-Fan y
Parra-Urrea, 2021, p. 50). Estos no son explicitados
en los TFM que hemos analizado.
El hecho de tener únicamente como fuente de
los datos los TFM de los futuros profesores es una de
las limitaciones de este estudio Para poder conocer
mejor el conocimiento meta didáctico matemático
de los docentes sería necesario realizar estudios de
caso de profesores noveles, exalumnos del máster,
cuando reflexionan sobre su propia práctica docen-
te utilizando la RIEF. Para ello, analizaríamos sus
reflexiones, haríamos observaciones de aula y los
entrevistaríamos para conocer con más profundidad
su conocimiento meta didáctico matemático.
En el análisis de las reflexiones de los TFM
sobre funciones para la etapa de la ESO, se puede
afirmar que se han obtenido evidencias de casi todos
los indicadores RIEF (tabla 2), en mayor o menor
medida. Sin embargo, al entrar en detalle en cada
TFM, se observa que, cuando los participantes revi-
san la UD que han diseñado y su implementación,
la pauta de que disponen —los CID (tabla 1) y una
pauta en referencia a los procesos (figura 3)— les
ayuda a reflexionar (Esqué de los Ojos y Breda,
2021). No obstante, al no ser esta una pauta especí-
fica para la IE de las funciones (como lo es la RIEF),
los participantes no atienden en su análisis a la
mayoría de los RIEF. Se constata que sus reflexiones
presentan importantes carencias que podrían influir
en la calidad de sus procesos de instrucción.
No considerar algunos de los indicadores de la
RIEF puede ser debido a una falta de conocimiento
matemático ampliado de los profesores en formación
como amuestran Batista et al. (2022). El uso de las
RIEF ayudaría a mejorar este tipo de conocimiento
sobre funciones.
Aunque la revisión de la literatura apunta que
los trabajos que aplican los CID como herramienta
teórico-metodológica han aumentado en los últimos
años (Malet, 2022), se hacen necesarios nuevos con-
textos de uso y el refinamiento de las componentes
para analizar procesos de enseñanza de objetos
matemáticos específicos (Araya et al., 2021; Breda et
al., 2021; García Marimón et al., 2021; Piñero-Charlo
et al., 2021). En consecuencia, si se dotara al profe-
sorado de herramientas como la RIEF, la reflexión
sobre su propia práctica podría mejorar, ya que
dispondrían de una pauta específica para realizar un
análisis con más rigor, claridad y eficiencia. Como
indican Pino-Fan y Parra-Urrea (2021):
Los procesos de instrucción idóneos sobre fun-
ciones requieren que los docentes conozcamos su
evolución histórica; es decir, que se comprenda el
significado holístico del objeto (su riqueza de sig-
nificados y cómo trabajarlos y promoverlos) para
tener una visión más amplia y profunda sobre la
noción de función. (p. 48)
Así pues, utilizar la RIEF no solo contribuiría
a la mejora de su práctica docente, sino que posibili-
taría un mayor conocimiento meta didáctico-mate-
mático de quienes la usen.
Los resultados de esta investigación dejan
vislumbrar que al avanzar los niveles educativos
aparecen nuevas nociones matemáticas asociadas a
Neus Inglada Rodríguez, Dra. Adriana Breda y Dra. Gemma Sala-Sebastià
© Universidad Politécnica Salesiana, Ecuador
56
la de función (pendiente, continuidad, monotonía,
concavidad, etc.) para las que también es necesario
desarrollar una herramienta refinada.
Los cursos de formación de futuros docentes
podrían enriquecerse con un módulo en el que se
enseñase la RIEF para mejorar su conocimiento sobre
funciones al considerar todos los significados, repre-
sentaciones, procesos involucrados en la complejidad
de las funciones y las prácticas matemáticas en las que
estos emergen. Y también profundizarían en el tipo
de reflexión requerida para diseñar, implementar y
reflexionar sobre sus procesos de instrucción.
Financiamiento
Proyecto PID2021-127104NB-I00 financia-
do por MCIN/ AEI/10.13039/501100011033/ y por
FEDER Una manera de hacer Europa.
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