enero-julio 2024
Vol. 19, No. 1, 58-70
https://doi.org/10.17163/alt.v19n1.2024.05
F
p-ISSN:1390-325X / e-ISSN:1390-8642
http://alteridad.ups.edu.ec
Experiencia educativa en modelización
para docentes de matemática en Panamá
Educational experience on modelling for
Panamanian mathematics teachers
Carlos Ledezma es doctorando en la Universidad de Barcelona, España (cledezar25@alumnes.ub.edu)
(https://orcid.org/0000-0001-9274-7619)
Dra. Luisa Morales-Maure es docente de Universidad de Panamá, Panamá
(luisa.morales@up.ac.pa) (https://orcid.org/0000-0003-3905-9002)
Dr. Vicenç Font es profesor titular de la Universidad de Barcelona, España (vfont@ub.edu)
(https://orcid.org/0000-0003-1405-0458)
Recibido: 2023-09-13 / Revisado: 2023-10-23 / Aceptado: 2023-11-27 / Publicado: 2024-01-01
Resumen
A nivel internacional, la modelización matemática ha ido ganan-
do un espacio importante en los currículos educativos, razón
por la cual la enseñanza de este proceso ha sido incluida en los
programas de formación de profesores de matemática. Dada
esta importancia, este estudio reporta una experiencia educativa
sobre modelización para profesores de matemática de educación
secundaria en servicio del sistema escolar panameño, cuyo
objetivo es analizar los procedimientos de resolución de estos
profesores a problemas de modelización y clasificar dichas reso-
luciones. El contexto es el Diplomado en Educación Matemática
Aplicada a Secundaria, impartido por la Universidad de Panamá,
el cual incluyó un submódulo sobre modelización. El “ciclo de
modelización desde una perspectiva cognitiva” que se impartió
en el submódulo, se utilizó para analizar los procedimientos de
resolución a tres problemas planteados a los profesores parti-
cipantes, mediante las producciones escritas que cargaron a la
plataforma virtual del diplomado. Se pudieron identificar cuatro
procedimientos de resolución en las 40 producciones analizadas,
que fluctuaban desde no comprender totalmente el enunciado
de los problemas hasta desarrollar un ciclo completo de mode-
lización. Con estos resultados, se pretende aportar una primera
visión general sobre la enseñanza y el aprendizaje de la modeli-
zación en el contexto panameño, y sentar las bases para posibles
adaptaciones curriculares a la enseñanza de la matemática.
Palabras clave: diplomado, formación de profesores, modeliza-
ción matemática, Panamá, profesores de matemática, profesores
en servicio.
Abstract
Internationally, mathematical modelling has been gaining an
important space in educational curricula, this is why the teaching
of this process has been included in educational programmes for
mathematics teachers. Due to this importance, in this study, an
educational experience on modelling for practising secondary
education mathematics teachers from the Panamanian school
system is reported, whose objective is to analyse the solving
procedures of these teachers to modelling problems and classify
these solving procedures. The context is the Diploma Course in
Mathematics Education Applied to Secondary Education, taught
by the University of Panama, which included a submodule on
modelling. The “modelling cycle from a cognitive perspective”,
which was taught in the submodule, was used to analyse the
solving procedures for three problems posed to the participating
teachers, through the written productions that they uploaded to
the virtual platform of the diploma course. Four solving proce-
dures could be identified in the 40 productions analysed, which
varied from not totally understanding the wording of the prob-
lems to developing a whole modelling cycle. With these results, it
is intended to provide a first overview of the teaching and learning
of modelling in the Panamanian context and to lay the founda-
tions for possible curricular adaptations to mathematics teaching.
Keywords: diploma, mathematical modelling, mathematics
teachers, Panama, practising teachers, teacher education.
Forma sugerida de citar (APA): Ledezma, C., Morales-Maure, L. y Font, V. (2024). Experiencia educativa en modelización para docen-
tes de matemática en Panamá. Alteridad, 19(1), 58-70. https://doi.org/10.17163/alt.v19n1.2024.05
Carlos Ledezma, Dra. Luisa Morales-Maure y Dr. Vicenç Font
Alteridad, 2024, 19(1), 58-70 59
1. Introducción y estado de la cuestión
Una de las competencias que permite a los
individuos ser capaces de vincular sus conocimien-
tos matemáticos a las necesidades y exigencias del
siglo XXI es la modelización matemática (Maass
et al., 2022). En este sentido, se requiere preparar
a los profesores con las competencias adecuadas
para la modelización y, de este modo, educar a los
estudiantes en habilidades para desarrollar este pro-
ceso (Blum y Borromeo Ferri, 2009). Si bien en la
literatura especializada existe una discusión sobre
cómo definir la competencia en modelización (véase
Kaiser y Brand, 2015), por una parte, este proceso
se considera como uno de los ejes para la resolu-
ción de problemas en la evaluación internacional
PISA (Organisation for Economic Co-operation
and Development, 2019) y, por otra parte, existe un
consenso en que el trabajo con modelización trae
consigo una serie de beneficios para el aprendizaje
matemático (Blum, 2011).
Dado este creciente interés por la modelización
a nivel internacional, este estudio pretende aportar
una primera visión general sobre una experiencia
educativa pionera sobre modelización para profesores
de matemática en servicio del sistema escolar pana-
meño. Este programa de formación continua, desarro-
llado en 2022, reconoce la importancia de integrar la
modelización como parte fundamental de la enseñan-
za de la matemática en Panamá. Es necesario que los
profesores incluyan, entre otros procesos relevantes
de la actividad matemática, la modelización en sus
clases, para lo cual este programa decidió incorporar
su enseñanza a los profesores en servicio.
1.1 Modelización matemática
La modelización matemática describe breve-
mente la traducción de un problema real a la mate-
mática y de sus resultados de vuelta a la realidad
(Pollak, 2007). En la literatura especializada se han
propuesto diferentes ciclos para analizar el proceso
de modelización (Borromeo Ferri, 2006) y han emer-
gido distintas perspectivas sobre su implementación
(Preciado et al., 2023). En este estudio se adopta el
“ciclo de modelización desde una perspectiva cog-
nitiva” (ver figura 1), propuesto por Borromeo Ferri
(2018), el cual se enmarca en la perspectiva realista
de trabajo con modelización (Abassian et al., 2020).
La elección de este ciclo para este estudio se
justifica por: (a) la experiencia previa de los autores
en trabajos teóricos (véase Ledezma et al., 2023) y
(b) su uso es parte de la experiencia educativa que
se reporta en este artículo. Para explicar el funciona-
miento del ciclo de la figura 1 se utiliza como ejem-
plo el Problema Pan de Azúcar, el cual se presentó
durante esta experiencia educativa.
Pan de Azúcar: El teleférico de Pan de Azúcar toma,
aproximadamente, tres minutos para su recorri-
do desde la estación en el valle hasta la cima de la
Montaña Pan de Azúcar en Río de Janeiro. Se mueve
a una velocidad de 30 km/h y cubre una diferencia de
altura de, aproximadamente, 180 metros. El ingenie-
ro jefe, Giuseppe Pelligrini, prefirió mejor caminar,
como lo hizo en el pasado, cuando era un monta-
ñista. Primero, corrió desde la estación del valle a
través de la vasta llanura hacia la montaña, y luego la
escaló en 12 minutos. ¿Cuán grande es la distancia,
aproximadamente, que Giuseppe tuvo que correr
desde la estación del valle hasta el pie de la montaña?
(adaptado de Blum y Leiß, 2007, p. 224)
La situación real viene dada por el enunciado
del Problema Pan de Azúcar, en forma de un texto
con una imagen. Mediante su comprensión, se puede
formar una representación mental de la situación, lo
que involucra, por ejemplo, establecer relaciones con
las vacaciones y los sitios turísticos (conocimiento
extra-matemático), a fin de comprender lo que solici-
ta el problema (la distancia entre la estación del valle
y el pie de la montaña). Esta representación mental
se debe simplificar y estructurar para así obtener
un modelo real que represente la situación real plan-
teada; en este caso se puede simplificar la montaña
y el cable como segmentos, y el teleférico como un
punto, y luego estructurar estas simplificaciones en
un dibujo. El modelo matemático toma en considera-
ción los objetos matemáticos que permiten explicar
la situación real planteada; en este caso, se puede apli-
car el teorema de Pitágoras. A partir del trabajo con
este modelo matemático se obtienen resultados mate-
máticos, los cuales se deben interpretar en el contexto
de la situación real para obtener resultados reales; en
este caso se obtienen 1,49 kilómetros, aproximada-
mente. Ahora bien, ¿tiene sentido esta respuesta en
el contexto del Problema Pan de Azúcar? Una forma
de validar estos resultados reales sería mediante una
aplicación de mapas para medir las distancias en la
ubicación real del Pan de Azúcar en Brasil.
Carlos Ledezma, Dra. Luisa Morales-Maure y Dr. Vicenç Font
© Universidad Politécnica Salesiana, Ecuador
60
Figura 1. Ciclo de modelización desde una perspectiva cognitiva
Nota. Adaptado de Borromeo Ferri (2018, p. 15).
El proceso de modelización no debe ser entendi-
do en términos lineales, sino como un ciclo, ello debi-
do a que tanto el contexto de la situación real como los
aspectos matemáticos involucrados en su resolución
pueden incidir en el modelo matemático y en el trabajo
matemático con el mismo (Blomhøj, 2004; Borromeo
Ferri, 2007). El trabajo con modelización en el aula se
suele desarrollar en pequeños grupos de estudiantes,
a quienes se les plantea una situación-problema que
deben matematizar (Doerr e English, 2003; Shahbari
y Tabach, 2019). Esta situación-problema, conocida
como problema de modelización, debe cumplir con
ciertas características (Borromeo Ferri, 2018): debe
ser abierta y compleja, cuya resolución no se limite a
una respuesta o procedimiento específicos, y donde
los estudiantes deban buscar los datos relevantes; tam-
bién debe ser realista y auténtica, añadiendo elemen-
tos tomados del mundo real y presentando una situa-
ción coherente con un hecho que ha ocurrido o que
pueda ocurrir en la realidad (en términos de Palm,
2007); finalmente, debe ser un problema (en términos
de Schoenfeld, 1994) que sea solucionable a través de
un ciclo de modelización, lo que implica el desarrollo
de todas las fases que componen este ciclo. De la mano
de lo anterior, los problemas de modelización tienden
a tener diversos caminos para obtener una solución
plausible y coherente con el contexto de la situación
real planteada (English, 2003; Lesh y Doerr, 2003).
1.2 Modelización matemática en la
educación de profesores
Dada la relevancia de este proceso, diversos
estudios han abordado la enseñanza de la modelización
para profesores, tanto en formación como en servicio.
Una línea se ha enfocado en los conocimien-
tos y competencias de profesores de matemática.
En el contexto austríaco, Kuntze et al. (2013) estu-
dian las autopercepciones de profesores sobre su
conocimiento del contenido pedagógico (PCK, por su
sigla en inglés [Shulman, 1986]) relacionado con la
modelización, considerando tanto el PCK necesario
para ayudar a sus estudiantes durante el proceso de
modelización en el aula, como lo que piensan sobre
su propio desarrollo profesional a nivel universitario.
Mediante la aplicación de un cuestionario a 38 pro-
fesores en formación y a 48 profesores en servicio,
los resultados evidenciaron una necesidad de un
desarrollo profesional que no solo abarque el PCK
sobre modelización, sino también la enseñanza de
estrategias para la autoeficacia pedagógica de los
profesores al implementar este proceso, por ejem-
Carlos Ledezma, Dra. Luisa Morales-Maure y Dr. Vicenç Font
Alteridad, 2024, 19(1), 58-70 61
plo, utilizando herramientas tecnológicas. En esta
misma línea de investigación, en el contexto alemán,
Greefrath et al. (2022) estudian las facetas de las
competencias profesionales para la enseñanza de la
modelización (véase Blum, 2015), específicamen-
te, aquellas referidas al conocimiento sobre tareas
de modelización e intervenciones en el aula. Estos
autores reportan los resultados de un seminario de
12 sesiones impartido a tres grupos de futuros pro-
fesores de distintas universidades alemanas, en que
se evidenció la mejora del PCK sobre modelización
de los sujetos participantes. En el contexto español,
Ledezma et al. (2022) estudian los conocimientos y
creencias sobre modelización de un futuro profesor
a partir del análisis de su argumentación. En este
estudio, los autores infieren estos conocimientos y
creencias utilizando el modelo de Conocimientos y
Competencias Didáctico-Matemáticas del Profesor
de Matemática (Godino et al., 2017), el cual aplican
a la reflexión realizada por el futuro profesor en su
trabajo final de máster (véase otros estudios en esta
línea en Batista et al., 2022).
En el contexto singapurense, Ng (2013) abor-
da la problemática sobre los escasos esfuerzos por
incorporar tareas de modelización en las escuelas, a
pesar de que el currículo nacional introdujo en 2003
este proceso en la enseñanza de la matemática. Para
ello, se comparan los resultados de la implementación
de dos cursos de modelización para profesores de
educación primaria sin experiencia previa con este
proceso: uno con 48 profesores en servicio (a partir
de un estudio previo [Ng, 2010]) y otro con 57 pro-
fesores en formación (el estudio actual [Ng, 2013]).
En ambos cursos, los profesores debieron resolver la
tarea Juegos Olímpicos de la Juventud (adaptada desde
English, 2013). Los resultados evidencian las similitu-
des y diferencias entre ambos grupos de profesores al
resolver la tarea propuesta, sugiriendo un método de
trabajo, para el contexto singapurense, que incluya a
profesores en formación y en servicio al momento de
abordar la enseñanza de la modelización.
En el contexto estadounidense, Manouchehri
(2017) reporta los esfuerzos por asistir a un grupo de
profesores de matemática en servicio para desarro-
llar conocimientos sobre modelización y su imple-
mentación en el currículo escolar. El contexto de
implementación fue un curso de 25 horas de desa-
rrollo profesional, donde 85 profesores trabajaron
en tareas de modelización y discutieron sobre su
implementación. En este estudio se reportan los
resultados de 25 de los profesores y las profesoras
que participaron del curso, donde se evidenció un
crecimiento en su conocimiento sobre modelización
a partir de los desafíos matemáticos (construcción
y trabajo con el modelo matemático), pedagógicos
(estrategias para desarrollar este proceso en el aula),
y epistemológicos (obstáculos durante el proceso de
modelización) que debieron enfrentar.
En el caso de este estudio, se reporta una
experiencia educativa pionera con profesores de
matemática en servicio de Panamá. El sistema edu-
cativo escolar de Panamá se forma por los niveles
de Educación Básica General (estudiantes de 4-15
años) y Educación Media (estudiantes de 15-18
años). En este contexto, la Universidad de Panamá,
en colaboración con otras universidades extranje-
ras, implementó dos diplomados para profesores
en servicio de ambos niveles educativos durante
2022: “Estrategias Didácticas para la Enseñanza de
la Matemática” (Diplomado EDEM) para Educación
Básica General, y “Educación Matemática Aplicada a
la Secundaria” (Diplomado EMAS) para Educación
Media. El objetivo de ambos diplomados fue ampliar
las habilidades pedagógicas del profesorado de mate-
mática. Esta investigación se centró en el Diplomado
EMAS, donde uno de los tópicos abordados fue la
modelización matemática.
1.3 Objetivo y pregunta de investigación
El planteamiento de la pregunta de investiga-
ción sobre los resultados de esta experiencia educati-
va pionera desarrollada en el contexto panameño es
el siguiente: ¿Cuáles son los procedimientos de reso-
lución a problemas de modelización por parte de los
profesores de matemática en servicio que participan
del Diplomado EMAS? Para responderla se utilizó
el ciclo de modelización representado en la figura
1 para analizar los procedimientos de resolución a
tres problemas planteados a los profesores durante
un submódulo de este diplomado. Estas resoluciones
fueron clasificadas de acuerdo con las fases y tran-
siciones identificadas en sus producciones escritas.
Finalmente, se reflexiona sobre estos resultados y sus
posibles implicancias para futuras implementaciones
de este diplomado en el contexto panameño.
La relevancia de este estudio radica en dos
ámbitos. Por una parte, se aborda un tema poco explo-
Carlos Ledezma, Dra. Luisa Morales-Maure y Dr. Vicenç Font
© Universidad Politécnica Salesiana, Ecuador
62
rado en el contexto panameño como es la educación
de profesores de matemática en servicio sobre mode-
lización. Si bien hay diferentes investigaciones sobre
educación de profesores de matemática en Panamá
realizadas, principalmente, con base en la experiencia
del Diplomado EDEM (véase García-Marimón et al.,
2021; Morales et al., 2019), estas se centran en el desa-
rrollo de la reflexión docente utilizando el constructo
Criterios de Idoneidad Didáctica (Breda y Lima,
2016). A pesar de que los documentos curriculares
nacionales de Panamá no incluyen un trabajo sistemá-
tico con modelización para la enseñanza de la mate-
mática (véase Ministerio de Educación de Panamá,
2014a, 2014b, 2014c), el Diplomado EMAS sí incluye
este proceso como un tema relevante para enseñar, ya
que se asumen las tendencias actuales que promueven
la inclusión de la modelización en los procesos de
enseñanza y aprendizaje matemáticos. Por otra parte,
la Universidad de Panamá, responsable de impartir
estos diplomados, es considerada como un referente
en docencia e investigación a nivel centroamericano
(García-Marimón, 2023; Morales-Maure, 2019). Por
lo tanto, esta experiencia educativa se puede replicar
en otros países de la región debido a las similitudes
socioculturales existentes.
2. Metodología
Para este estudio se siguió una metodología
de investigación cualitativa desde un paradigma
interpretativo (Cohen et al., 2018). En esta sección
se describen los aspectos metodológicos.
2.1 Contexto de la investigación
Esta investigación se desarrolló en el contexto
del Diplomado EMAS, impartido por la Universidad
de Panamá durante el periodo mayo-octubre de 2022,
con una duración total de 320 horas. El objetivo de
este diplomado es contribuir al desarrollo profesional
docente continuo de los profesores de matemática
de educación secundaria panameños, que incluye el
diseño, la implementación, valoración, y mejora de
procesos de enseñanza y aprendizaje matemáticos,
con sustento teórico en el constructo Criterios de
Idoneidad Didáctica. En el curso 2022 del Diplomado
EMAS participaron 113 profesores, provenientes de
distintas zonas del país, quienes fueron agrupados
en las cuatro salas virtuales de la plataforma en línea
diseñada por la Universidad de Panamá a cargo
de un profesor formador. Este programa constó de
seis módulos impartidos en modalidad híbrida: (a)
Introducción a la Educación Matemática; (b, c, d)
Didáctica de la Matemática I, II, y III; (e) Contextos
social, familiar, y educativo; y (f) Reflexión sobre la
propia práctica. Al término de este programa, los
profesores participantes recibieron un certificado por
el cumplimiento del curso. Los Diplomados EDEM
y EMAS son experiencias educativas pioneras en el
contexto panameño, las cuales no están solo apoya-
das por un proyecto de investigación gubernamental
adjudicado por la Universidad de Panamá, sino que
también por académicos de universidades extranjeras
(especialmente de España e Hispanoamérica).
2.2 Submódulo sobre modelización
matemática y análisis a priori de los
problemas de modelización
Dentro del módulo “Introducción a la
Educación Matemática” se encuentra el submódulo
“Modelización matemática”. Debido a la modalidad
híbrida del diplomado, los profesores participan-
tes podían acceder a una explicación general en la
plataforma virtual sobre qué es la modelización y
cuatro problemas de este tipo que debían resolver. El
seguimiento de este trabajo remoto lo desarrollaba el
profesor formador a cargo de cada sala virtual. Junto
con esta explicación, prácticamente al inicio de este
submódulo, se impartió una conferencia dirigida a los
profesores participantes y formadores del diplomado,
donde se amplió la explicación sobre modelización
disponible en la plataforma. En esta conferencia
(que duró 90 minutos), el expositor (el primer autor)
comenzó explicando qué se entiende por modeliza-
ción matemática, qué caracteriza a este tipo de pro-
blemas, qué estrategias de trabajo con este proceso se
sugieren seguir en el aula, y cómo se puede analizar
la resolución de un problema de modelización (el
Problema Pan de Azúcar en la subsección 1.1) utilizan-
do el ciclo de la figura 1. Estos problemas se presentan
en la tabla 1, junto con el análisis a priori de cada uno,
en términos del ciclo de modelización considerado
como referente teórico del estudio.
Si bien estos problemas de modelización se
comentaron durante la conferencia, los profesores
participantes debían resolverlos de manera autóno-
ma y cargar sus resoluciones y respuestas a la pla-
Carlos Ledezma, Dra. Luisa Morales-Maure y Dr. Vicenç Font
Alteridad, 2024, 19(1), 58-70 63
taforma virtual diseñada para el Diplomado EMAS.
Posteriormente, el profesor formador de cada sala
virtual realizaba una retroalimentación sobre las
resoluciones para los tres problemas.
Tabla 1. Problemas de modelización planteados durante el Diplomado EMAS
Enunciados de los problemas
Problema Pacas de Heno:
Hacia el final del verano se pueden ver
montañas de pacas de heno en el cam-
po como las de la imagen. Las pacas se
acomodan de manera que se ubiquen cin-
co en la base, cuatro en la siguiente fila,
luego tres, dos y, finalmente, una bola de
heno en la cúspide. Intenta hallar la altura
de la montaña de pacas de heno.
(Adaptado de Borromeo Ferri, 2018, p, 14)
Problema Meandros:
En la Península de Yamal, al noroeste de
Siberia, se pueden ver desde el aire una
serie de meandros activos y abandona-
dos en ríos de gran sinuosidad. En color
clase se ven los sedimentos más recien-
tes depositados en las partes convexas
de los meandros. ¿Cuál es la longitud
aproximada del río con sedimentos?
(Archivo de los autores)
Problema La Luz de Boston:
En la bahía de Massachusetts hay un
faro llamado “Boston Light”, el cual fue
construido en 1716 con una altura de 31
metros. Su baliza estaba destinada a ad-
vertir a los barcos que se estaban aproxi-
mando a la costa. ¿Cuán lejos, aproxima-
damente, estaba un barco cuando veía la
luz del faro por primera vez?
(Adaptado de Borromeo Ferri, 2018, p.
106)
Análisis a priori
Una representación mental de la situación
involucra, por ejemplo, establecer rela-
ciones con el campo y las pacas de heno
(conocimiento extra-matemático), a fin de
comprender lo que solicita el problema (la
altura de la montaña de pacas de heno).
Para construir un modelo real se pueden
simplificar las pacas de heno como cir-
cunferencias de 1,5 metros de diámetro y
a la mujer como un segmento de recta de
1,7 metros (ambos por estimación), y lue-
go estructurar estas simplificaciones en
un dibujo. En este caso se puede aplicar
la adición de alturas de las pacas de heno
como modelo matemático, lo que daría
como resultado real una montaña de 6,75
metros de altura.
Una representación mental de la situación
involucra evocar imágenes de ríos y su
comportamiento sinuoso (conocimiento
extra-matemático), a fin de comprender lo
que solicita el problema (la longitud aproxi-
mada del río con sedimentos). Para cons-
truir un modelo real se pueden simplificar
los meandros como semicircunferencias
sobre un segmento de recta que atraviese
la imagen del río con sedimentos, estiman-
do una longitud lineal de 30 kilómetros (a
partir de la observación de mapas), y luego
estructurar estas simplificaciones en un di-
bujo. En este caso se puede aplicar la adi-
ción de perímetros de semicircunferencias
como modelo matemático, lo que daría
como resultado real una longitud aproxi-
mada del río de 47 kilómetros.
Una representación mental de la situa-
ción involucra, por ejemplo, establecer
relaciones con la costa, los faros, los
barcos, y al horizonte (conocimiento
extra-matemático), a fin de comprender
lo que solicita el problema (la distancia
desde donde un barco veía por prime-
ra vez la luz del faro). Para construir un
modelo real se puede simplificar la Tierra
como una circunferencia de radio 6371
kilómetros, el faro como un segmento
de recta de 31 metros, y el barco como
un punto, y luego estructurar estas sim-
plificaciones en un dibujo. En este caso
se puede aplicar el teorema de Pitágo-
ras como modelo matemático, lo que
daría como resultado real una distancia
aproximada de visión de 20 kilómetros.
2.3 Recolección y análisis a posteriori de
los problemas de modelización
Dado que el segundo y tercer autor de este
artículo son académicos involucrados en el diseño y
coordinación de la implementación del Diplomado
EMAS, se contó con acceso total a la plataforma
virtual donde los profesores participantes cargaron
sus resoluciones y respuestas a los tres problemas de
modelización aplicados (instrumentos). Para ello, se
solicitó a los profesores participantes que registraran,
de la forma más ordenada y explícita posible, todos
sus procedimientos de resolución y no solo sus res-
puestas a estos problemas (datos). De este modo, los
profesores participantes podían cargar sus produc-
ciones escritas a la plataforma virtual del Diplomado
EMAS en forma de documentos escaneados o elabo-
rados con algún procesador de texto.
Una vez recolectadas las producciones escri-
tas, estas se rotularon según el grupo al que pertene-
cían (G1 a G4) con un número para cada una (P01 a
P29). Por ejemplo, la producción G2.P07 correspon-
de al número 7 del grupo 2. De estas producciones
recolectadas se deben tener dos consideraciones:
(a) de los 113 profesores participantes, 40 de ellos
cargaron sus producciones escritas a la plataforma
virtual; (b) de estos 40 profesores participantes, no
todos resolvieron los tres problemas de modelización
planteados. Por lo tanto, el análisis a posteriori de los
procedimientos de resolución de los profesores par-
ticipantes se realizó a partir de las 40 producciones
recolectadas y consistió en: primero, identificar las
Carlos Ledezma, Dra. Luisa Morales-Maure y Dr. Vicenç Font
© Universidad Politécnica Salesiana, Ecuador
64
fases del proceso de modelización en los procedi-
mientos de resolución a cada uno de los tres proble-
mas planteados, a partir de los análisis a priori de
la tabla 1; segundo, clasificar estas producciones en
cuatro categorías que se pudieron establecer a partir
de los procedimientos de resolución identificados,
con base en las fases del ciclo de la figura 1, las cuales
se describen y ejemplifican en la siguiente sección.
De este modo, se puede tener una primera mirada
general sobre los resultados de esta experiencia edu-
cativa pionera en el contexto panameño.
3. Resultados
En esta sección se presentan los resultados del
estudio de acuerdo con los cuatro procedimientos de
resolución identificados en las producciones de los
profesores participantes.
3.1 Procedimiento de resolución 1 (PR1)
El primer procedimiento de resolución identi-
ficado corresponde a aquellas producciones donde los
profesores participantes no evidenciaron una com-
prensión completa del enunciado del problema y/o
solo aportaron una descripción de cómo podría ser
resuelto. Se tienen los siguientes ejemplos del PR1:
d = Diámetro de la paca. La altura de las pilas
de heno sería A = 5d. (Problema Pacas de Heno;
Producción G1.P22)
Se realiza con una fórmula la distancia entre dos
puntos d = Raíz cuadrada del primer punto eleva-
do al cuadrado más el cuadrado del segundo [sic].
(Problema Meandros; G3.P23)
El barco, para divisar por primera vez el faro,
debe encontrarse a una distancia de la base del
faro igual a la altura del mismo, para que la línea
de visión del observador, al divisar el faro, forme
con la horizontal un ángulo de 45º, teniendo en
cuenta la curvatura del planeta. (Problema La Luz
de Boston; Producción G2.P09)
3.2 Procedimiento de resolución 2 (PR2)
El segundo procedimiento de resolución iden-
tificado corresponde a aquellas producciones donde
los profesores participantes desarrollaron las fases
modelo real → modelo matemático. En estas produc-
ciones se consideró como suficiente formular un
modelo matemático para resolver el problema, sin
siquiera trabajar matemáticamente con el mismo; en
otras palabras, se matematizó el problema para darle
respuesta. Se tiene el siguiente ejemplo del PR2 para
el Problema Meandros en la figura 2:
Figura 2. Producción G4.P01 del Problema Meandros (PR2)
Nota. Archivo de los autores.
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Alteridad, 2024, 19(1), 58-70 65
3.3 Procedimiento de resolución 3 (PR3)
El tercer procedimiento de resolución identi-
ficado corresponde a aquellas producciones donde
los profesores participantes desarrollaron las fases
modelo real → modelo matemático → resultados mate-
máticos. En estas dos producciones se consideró
como suficiente obtener resultados matemáticos a
partir del modelo matemático para resolver los pro-
blemas, sin necesidad de interpretarlos como resulta-
dos reales y, mucho menos, validarlos en el contexto
de la situación real planteada; en otras palabras, se
trabajó matemáticamente con el problema para darle
respuesta. Se tiene el siguiente ejemplo del PR3 para
el Problema La Luz de Boston en la figura 3:
Figura 3. Producción G1.P25 del Problema La Luz de Boston (PR3)
Nota. Archivo de los autores.
3.4 Procedimiento de resolución 4 (PR4)
El cuarto procedimiento de resolución iden-
tificado corresponde a aquellas producciones donde
los profesores participantes desarrollaron un ciclo
de modelización completo. En estas producciones
se construyó un modelo real de la situación real, se
trabajó con un modelo matemático, y los resultados
matemáticos se interpretaron como resultados rea-
les en el contexto de la situación real a partir de las
consideraciones extra-matemáticas realizadas por el
resolutor. Se tiene el siguiente ejemplo del PR4 para
el Problema Pacas de Heno en la figura 4:
Carlos Ledezma, Dra. Luisa Morales-Maure y Dr. Vicenç Font
© Universidad Politécnica Salesiana, Ecuador
66
Figura 4. Producción G1.P20 del Problema Pacas de Heno (PR4)
Nota. Archivo de los autores.
3.5 Síntesis de los resultados
En la tabla 2 se presenta el número de pro-
ducciones de los profesores participantes según
los procedimientos de resolución (PR1 a PR4) que
utilizaron para cada uno de los tres problemas
de modelización planteados durante el submódulo
correspondiente.
Tabla 2. Síntesis de los resultados
Problemas PR1 PR2 PR3 PR4
Pacas de Heno 19 5 9 4
Meandros 9 21 5 0
La Luz de Boston 5 9 6 1
4. Discusión y conclusiones
Los resultados de la tabla 2 muestran que la
mayoría de los procedimientos de resolución que
se pudieron evidenciar en las producciones de los
profesores participantes fueron PR1 y PR2. Con
respecto a estos resultados, una conclusión plausible
que puede explicar esta situación sería que, para el
caso del PR1, los profesores participantes no reci-
bieron una formación en modelización más allá de
la que se impartió en este diplomado y, para el caso
de PR2, que el conocimiento sobre modelización que
hayan podido tener se podría interpretar como un
intento de matematizar la realidad en vez de desa-
Carlos Ledezma, Dra. Luisa Morales-Maure y Dr. Vicenç Font
Alteridad, 2024, 19(1), 58-70 67
rrollar un ciclo de modelización completo. Como se
mencionó al principio, el trabajo con modelización
para la enseñanza de la matemática no es parte de los
documentos curriculares nacionales de Panamá; por
lo tanto, es probable que estos profesores no hayan
tenido un conocimiento muy amplio sobre las estra-
tegias de resolución para este tipo de problemas, o
experiencias de implementación de la modelización
en su práctica educativa.
Los resultados de la tabla 2 también muestran
que hubo profesores que evidenciaron el PR3, lo
cual se condice con parte de los resultados repor-
tados por Ledezma et al. (2023), en que los futuros
profesores de matemática de educación secundaria
no se interesaron por volver al “mundo real” para
interpretar o validar los resultados obtenidos del
modelo matemático utilizado, centrando su aten-
ción en las sub-competencias de matematización y
trabajo matemático con los problemas propuestos.
Además, hubo cinco producciones de los profesores
participantes en que se evidenció el desarrollo de un
ciclo de modelización completo (PR4), sin embargo,
no son un resultado representativo del total de pro-
ducciones recolectadas.
Estos resultados aportan una primera visión
general sobre la enseñanza y el aprendizaje de la
modelización en el Diplomado EMAS y para los auto-
res, como académicos involucrados en este contexto,
les permite cuestionarse: ¿Qué se debería mejorar/
modificar en el submódulo de modelización para
futuras implementaciones? Con base en investigacio-
nes previas sobre este tipo de experiencias educativas
(véase Borromeo Ferri, 2018; Wess et al., 2021) y en
los resultados aquí reportados, se puede concluir que:
• Primero, el tiempo dedicado al submódulo de
modelización no es suficiente para que los pro-
fesores adquieran competencias en modeliza-
ción por sí mismos y, además, piensen en cómo
podrían enseñar/implementar este proceso en su
práctica educativa. Dada esta situación, se pro-
pone una reformulación que incluya un mínimo
de diez sesiones (similar a Greefrath et al., 2022)
para abordar la enseñanza de la modelización.
• Segundo, la conclusión anterior lleva a refor-
mular los aspectos didácticos del submódulo,
comenzando desde el conocimiento y compe-
tencias previas de los profesores sobre mode-
lización, dividiendo este proceso en conjuntos
de fases que forman el ciclo, y luego planteando
tareas que trabajen transiciones (o sub-com-
petencias de modelización) específicas (véase
Maaß, 2010).
• Tercero, como etapa final del submódulo, sería
interesante que los profesores diseñaran una
clase de modelización, incluyendo la resolución
y creación de problemas propios, que promueva
la reflexión sobre la propia práctica luego de su
implementación (véase Ledezma et al., 2022).
La modelización se considera un proceso que
enriquece la calidad de la enseñanza y el aprendizaje
de la matemática, tal como se evidencia en la expe-
riencia educativa del Diplomado EMAS. Sin embargo,
esta experiencia podría tener un impacto aún mayor
si se implementan ajustes curriculares en Panamá, los
cuales deberían incluir, entre otros aspectos, la inte-
gración de la modelización y darle un peso significa-
tivo en la enseñanza y el aprendizaje de la matemática
en este país. Finalmente, se destaca que este estudio
es de carácter seminal en una línea de investigación
sobre modelización en el contexto panameño para un
mayor desarrollo profesional docente.
Apoyos
Estudio realizado en el marco del Proyecto
I+D FIED21-002, financiado por SENACYT/
Universidad de Panamá (Panamá); del Proyecto nro.
72200458 financiado por ANID/PFCHA (Chile); del
Proyecto PID2021-127104NB-I00 financiado por
MCIN/AEI/10.13039/501100011033 y por “FEDER
Una manera de hacer Europa”.
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